최단 경로 2) 플로이드-워셜(Floid-Warshall) 알고리즘
플로이드-워셜 알고리즘
플로이드-워셜(Floid-Washal) 알고리즘은 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 구하는 알고리즘이다.
해당 알고리즘은 두 노드 간의 최단 경로를 최적이 될 때까지 점진적으로 개선시킴으로써 최단경로를 찾는다.
대부분의 최단 경로 알고리즘 동작 원리
대부분의 최단 경로 알고리즘은 다른 노드를 거쳐갈 때 비용이 감소하는지 확인한다.
깊이 1: 1 → 4로 가기 위하여 3원이 필요하다.
깊이 2: 1 → 2 → 4로 가면 2원이 필요하다. (2번 노드를 거치며 확인 가능)
플로이드-워셜 알고리즘 동작 원리
모든 정점과 모든 정점 간의 최단 거리를 구해야 하므로 2차원 배열을 생성하고 각 단계마다 특정한 노드 K를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
정점 A에서 B로 가는 최단 거리보다 A에서 특정 정점 K를 거쳐 B로 가는 거리가 더 짧다면 갱신한다.
특정 정점 K는 보통 ‘경유지’로 표현된다. 즉, K를 정해 dist[A][B]와 dist[A][K]+dist[K][B]를 비교해 나가는 것.
따라서, 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않는다.
플로이드-워셜 동작 과정
2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
위의 그래프에서 노드에서 다른 노드로 가는 비용을 이차원 배열로 구성하여 표시하면 다음과 같다.
해당 표에서 INF는 특정 노트에서 다른 노드로 가는 길이 없을 경우를 의미하며, 자기자신에게 이동하는 경우에 대한 비용은 0으로 할당한다.
노드 1을 경유하는 경우
3 -> 2의 경우는 없지만 1을 경유할 수 있기에(3 -> 1 -> 2) graph[3][2] 2차원 테이블을 갱신해준다.
노드 2을 경유하는 경우
노드 3을 경유하는 경우
노드 4을 경유하는 경우
노드 5을 경유하는 경우
최종 결과
플로이드-워셜 소스 코드
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
let INF = 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
let n = 5; // 노드의 개수
// graph[i][j]는i에서j로 가기 위한 초기 비용(간선 비용)
let graph = [
// 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
[INF, INF, INF, INF, INF, INF], // 인덱스0 은 사용하지 않음
[INF, 0, 1, 5, INF, INF], // 1번 노드의 간선들
[INF, 7, 0, 2, 2, INF], // 2번 노드의 간선들
[INF, 2, INF, 0, INF, 6], // 3번 노드의 간선들
[INF, INF, 2, INF, 0, INF], // 4번 노드의 간선들
[INF, INF, INF, 1, INF, 0] // 5번 노드의 간선들
];
// 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for (let k = 1; k <= n; k++) {
for (let a = 1; a <= n; a++) {
for (let b = 1; b <= n; b++) {
let cost = graph[a][k] + graph[k][b];
graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], cost);
}
}
}
15;
// 수행된 결과를 출력
for (let a = 1; a <= n; a++) {
let line = "";
for (let b = 1; b <= n; b++) {
// 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if (graph[a][b] == INF) line += "INF ";
// 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else line += graph[a][b] + " ";
}
console.log(line);
}
플로이드-워셜 문제 예제
예제) Baekjoon 11404 - 플로이드
💡 문제 확인
n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다.
각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.
모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
💡 플로이드 문제의 해법
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구하는 문제로 플로이드-워셜 알고리즘을 사용할 수 있다.
💡 플로이드 문제 해결 코드
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
let INF = 1e9;
let node = 5;
let graph = [
[INF, INF, INF, INF, INF, INF],
[INF, 0, 2, 3, 1, 4],
[INF, 12, 0, 15, 2, 5],
[INF, 8, 5, 0, 1, 1],
[INF, 10, 7, 13, 0, 3],
[INF, 7, 4, 10, 6, 0]
];
for (let k = 1; k <= node; k++) {
for (let a = 1; a <= node; a++) {
for (let b = 1; b <= node; b++) {
graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
}
}
}
for (let i = 1; i <= node; i++) {
let line = "";
for (let j = 1; j <= node; j++) {
if (graph[i][j] == INF) line += "0 ";
else line += graph[i][j] + " ";
}
console.log(line);
}
📑 참고 자료